Propriedade dos gases

O estado mais simples da matéria é um gás, forma da matéria que enche qualquer recipiente que a contenha. Analisaremos primeiro o conceito básico (lei dos gases ideais) e partiremos para um conceito mais completo, que envolve outros fatores de um gás além da cinética das moléculas.

A teoria dos gases perfeitos é um modelo idealizado observado a priori por Robert Boyle e Edme Mariotte e complementada por Gay-Lussac, Avogadro entre outros Químicos do século 19. A teoria diz que a pressão de um gás é dada em função do Volume em que ele ocupa, Temperatura e unidades de moléculas/átomos de um sistema, portanto: P(V,T,n)

Sabendo que a pressão consiste no choque de moléculas na parede de um recipiente, temos que quando o volume desse recipiente diminui, ocorre um maior número de choques átomo/molécula-parede, gerando maior pressão. Portanto quando aumentamos o volume (considerando as outras variáveis constantes) a pressão diminui. Sabendo que a temperatura atua na energia cinética das moléculas, e essa energia cinética por sua vez atua na força na parede do recipiente, temos que o crescimento da temperatura aumenta a pressão, mantendo-se volume constante, o mesmo acontece quando se aumenta o número de moléculas mantendo-se as outras variáveis(V,T) constantes.

Entendendo esse fenômeno, Bernoit Clapeyron estabeleceu a seguinte equação:


Onde R é uma constante, cuja função é relacionar as unidades de T, V e n para a de pressão


porem, essa equação difere-se do real, visto pelo menos dois fatos que não foram levados em conta:

1. Interações intermoleculares;
2. Volume em que as moléculas ocupam.

As interações moleculares podem ser repulsivas ou atrativas, podendo gerar uma diferença na pressão final, e o volume em que as moléculas ocupam influencia no volume final do recipiente. Utilizou-se desses dois fatos para uma série de equações cuja função é encontrar uma relação matemática que se mais aproxima do real, do obtido experimentalmente.

Uma delas é a Equação de Van Der Waals:


Nessa equação, nb subtrai de V, nb é o volume em que todas as consideradas “esferas” moleculares ocupam, isto é, b é o volume molar ocupado pelas moléculas.

O termo que subtrai dá à equação o efeito das interações intermoleculares, e o termo a é a característica da substância que se está analisando.

Porem, não quer dizer que a equação dos gases ideais não deva mais ser utilizada, visto que para Volume grande (ou pressões baixas) a Equação de Van Der Waals possui a mesma característica da equação dos gases ideais, visto que as moléculas ficam tão afastadas de modo que suas interações não atuam de forma a causar uma variação considerável na medida. Prova-se isso matematicamente pois com V muito grande, nb torna-se desprezível, e o termo que subtrai na equação tende a zero, usamos através desse raciocínio o limite:

Derivada de uma Função de Duas Variáveis

Neste tópico discutiremos a derivada para uma função com mais de uma variável (no caso duas variáveis).

Mas..O que seria uma função de duas variáveis?

Uma pequena introdução

Uma função f de duas variáveis x e y é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x,y) de seu domínio D pertence aos R², um único número real denotado por z = f(x,y).

Derivação Parcial

Introdução

A derivada é um operador matemático cuja operação é executada em relação a uma variável independente. Como consequência desse fato, quando trabalhmos com funções com mais de uma variável independente, a opção que se tem é calcular a derivada em relação a uma de suas variáveis, enquanto as outas são mantidas constantes. Tal processo é denominado derivação parcial e a derivada resultante é a derivada parcial da função.

Definição

Seja f(x,y) uma função definida numa vizinhança de (x0,y0). A derivada parcial da função f(x,y) em relação a y em (x0, y0) é a derivada da função de uma variável F(y) = f(x0, y) no ponto y = y0.

Ou seja, para calcular a derivada parcial de f(x,y) em relação a y e em (x0, y0) fixamos x = x0 e derivamos a função de variável y no ponto y0.
Usando o que vimos no Cálculo I, temos que

Interpretação Geométrica

De acordo com a interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável, no caso a função F(y), temos

De modo análogo, definimos a derivada parcial em relação a x.

Na prática, para calcularmos a derivada parcial de uma função de várias variáveis em relação a uma de suas variáveis, consideramos todas as outras variáveis como constantes e derivamos em relação aquela variável.

Trabalho

Em Física, trabalho (normalmente representado por W, do inglês work, ou pela letra grega tau) é uma medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento.

O trabalho de uma força F aplicada ao longo de um caminho C pode ser calculada de forma geral através da seguinte integral de linha:

Trabalho também pode ser: É uma grandeza física que foi criada para medir uma energia

onde:

F é o vetor força.

r é o vetor posição ou deslocamento.

O trabalho é um número real, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força atua no sentido do deslocamento, o trabalho é positivo, isto é, existe energia sendo acrescentada ao corpo ou sistema. O contrário também é verdadeiro, uma força no sentido oposto ao deslocamento retira energia do corpo ou sistema. Qual tipo de energia, se energia cinética ou energia potencial, depende do sistema em consideração.

Como mostra a equação acima, a existência de uma força não é sinônimo de realização de trabalho. Para que tal aconteça, é necessário que haja deslocamento do ponto de aplicação da força e que haja uma componente não nula da força na direção do deslocamento. É por esta razão que aparece um produto interno entre F e r. Por exemplo, um corpo em movimento circular uniforme (velocidade angular constante) está sujeito a uma força centrípeta. No entanto, esta força não realiza trabalho, visto que é perpendicular à trajetória.

Portanto há duas condições para que uma força realize trabalho:

a) Que haja deslocamento; b) Que haja força ou componente da força na direção do deslocamento.

Esta definição é válida para qualquer tipo de força independentemente da sua origem. Assim, pode tratar-se de uma força de atrito, gravitacional, elétrica, magnética, etc.

Os Princípios

Os princípios do conceito de trabalho remontam às equações de Galileu do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Temos que o deslocamento Δs (positivo para uma direção da reta e negativo para a outra) equivale a

O que nos dá uma relação entre o deslocamento e a mudança de velocidade (v é a velocidade correspondente ao final do deslocamento e v₀ é a velocidade correspondente ao seu início).

Essa equação é o primeiro passo para um tratamento da mecânica que seja independente do tempo envolvido. Mas ainda há nela um fator que remete ao tempo: a aceleração. De forma qualitativa, essa equação nos diz que, quando maior foi o módulo da aceleração que levou o corpo da velocidade v₀ à velocidade v, menor é o espaço percorrido durante essa transformação. De modo simples: se a mudança de velocidades demorou mais, então sobrou mais tempo para que o corpo se movesse enquanto isso. Para eliminar esse fator que é tão dependente da maneira como se deu a mudança de velocidades (o que é contraditório com um tratamento atemporal), devemos multiplicar ambos os lados da equação por a e passar a pensar em aΔs como uma entidade única, relacionada apenas com a variação absoluta do quadrado da velocidade dividido por dois:

Independentemente de como foi realizada a transformação, o será sempre igual à entidade aΔs, de modo que finalmente temos um tratamento atemporal no movimento uniformemente variado.

Entretanto, queremos estender isso ao movimento geral. Para isso, primeiro temos que estabelecer uma relação entre o movimento retilíneo e o movimento curvo, a fim de estender nossos conceitos de um para o outro. Para fazer isso, lembramos as relações entre os vetores velocidade, posição e aceleração: a aceleração é a derivada temporal da velocidade e a velocidade é a derivada temporal da posição. Agora pensemos em qualquer "deslocamento infinitesimal" . Temos que:

Ou seja, qualquer deslocamento infinitesimal se dá na direção da velocidade instantânea (desde que a posição seja descrita por uma função vetorial continua). Como a direção da velocidade instantânea é uma só, então cada deslocamento infinitesimal é retilíneo.

Agora, devemos descobrir o quanto a nossa entidade muda nesse intervalo infinitesimal de tempo em que os deslocamentos são retilíneos. Para isso, derivamos a entidade em relação ao tempo:

Note que a derivada NÃO corresponde ao vetor aceleração, como mostraremos logo.

Antes disso, voltemos por um instante à nossa entidade (que só é válida para o MRUV). Claramente, se considerarmos o deslocamento como sendo sempre positivo, então uma aceleração negativa (no sentido oposto ao do movimento) implica uma diminuição da magnitude da velocidade, enquanto uma aceleração positiva (no mesmo sentido do movimento) aumenta a magnitude da velocidade.

E quanto a uma aceleração que não se dá na mesma direção do deslocamento? Vejamos a seguinte relação:

Onde v é a magnitude da velocidade e é o vetor unitário que indica a direção da velocidade. Sendo assim, para obter a aceleração derivamos a expressão , usando a regra da cadeia:

Onde vemos que um componente da aceleração (na mesma direção da velocidade), muda a magnitude da velocidade (), enquanto o outro componente muda apenas a direção da velocidade (, lembrando que a derivada de um vetor unitário é sempre na direção perpendicular a esse vetor unitário). Ou seja, como destacamos acima, a derivada corresponde a apenas um componente da aceleração: o componente que se dá na direção da velocidade.

Esse componente equivale a:

Note que, quando esse produto escalar é negativo, é porque a componente da aceleração que está na direção do deslocamento está no sentido oposto a ele. Isso implica uma diminuição da magnitude da velocidade, em concordância com a situação encontrada no MRUV.

Agora, a mudança infinitesimal na nossa entidade fica:

Mas queremos saber essa mudança em um intervalo de tempo qualquer. Então integramos com relação ao tempo:

Finalmente achamos a nossa entidade. No entanto, em analogia ao que aconteceu no MRUV, o que temos aqui é uma integral dependente do tempo, o que não condiz com o que estamos buscando desde o início: um tratamento atemporal. Assim, fazemos simplesmente:

O que constitui uma integral de linha:

Com os limites de integração, obviamente, correspondendo aos pontos inicial e final da trajetória.

Nosso *trabalho* está quase pronto. Só precisamos multiplicar essa entidade que encontramos pela massa. Isso tem inúmeras vantagens, mas aqui daremos apenas uma razão conceitual: a aceleração é um conceito secundário em comparação com a importância da força. Trocar, na equação acima, a aceleração pela força quer dizer trazer essa entidade para mais perto do mundo físico. Isso também se deve à ligação do trabalho com o conceito de energia, que é uma quantidade que se conserva, e que está ligada à massa.

Assim, temos, finalmente, o trabalho TOTAL sobre uma partícula:

Onde é a força resultante. O trabalho realizado por uma outra força qualquer é análogo, trocando-se a força total pela força qualquer. Note que a componente do trabalho de uma força qualquer que contribui para a componente força resultante na direção do deslocamento é, justamente, o produto escalar entre a força qualquer e a direção do deslocamento, o que justifica essa similaridade.

Origem do conceito de derivada de uma função

O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilônios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a "criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis.

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na História da Matemática como o " Problema da Tangente".

Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direção a P, obtendo deste modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no ponto P.

Fermat notou que para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E)) próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada com o valor de E, diferença das abscissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados.

Estas idéias constituíram o embrião do conceito de derivada e levou Laplace a considerar Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como " Cálculo Diferencial ".

Assim, embora só no século XIX Cauchy introduzia formalmente o conceito de limite e o conceito de derivada, a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicação aos mais diversos campos da Ciência.

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