Integrais

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias.

Se a função F(x) é primitiva da função f (x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por
∫ f(x) dx = F(x) + C

onde

∫ - é chamado sinal de integração;
f(x) - é a função integrando;
dx - a diferencial que serve para identificar a variável de integração;
C - é a constante de integração.

Lê-se: Integral Indefinida de f(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x) em relação a x.
O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado integração.

Observação: Da definição de integral indefinida, temos as seguintes observações:

Propriedades da Integral Indefinida

Sejam f(x) e g(x) funções reais definidas no mesmo domínio e k uma constante real. Então:







Integral Definida

Existem dois problemas fundamentais em cálculo: o primeiro é encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo é encontrar a área sob a curva. Vimos no post sobre Derivadas que elas estão relacionadas ao problema de traçar a reta tangente à uma curva.
Agora, você verá que a integral está relacionada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Assim, a derivada e a integral são as duas noções básicas em torno das quais se desenvolve todo o cálculo.

Conceito de Área
Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Por isso, motivaremos o entendimento do cálculo de área usando o método do retângulo, de uma região R compreendida entre o gráfico de uma função f (x) com valores positivos, o eixo x , em um intervalo fechado [a,b], conforme a figura abaixo.

A Integral
Seja f(x) uma função limitada definida no intervalo fechado [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral de f(x) no intervalo [a,b], denotada por

, dada por

,


desde que o limite do segundo membro exista.


Chamamos sua atenção para o fato de que a integal não necessariamente significa área. Dependendo do problema, ela pode significar grandezas, como: volume, quantidade de bactérias presentes em determinado instante, trabalho realizado por uma força.
A definição de integral pode ser ampliada, de modo a incluir o caso em que o limite inferior seja maior que o limite superior, e o caso em que os limites inferior e superior são iguais.

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Propriedades da Integral Definida