Radiação Proveniente das Estrelas

Qualquer objeto emite radiação quando aquecido. Um corpo negro, sistema que absorve toda radiação que cai nele, podendo ser uma superfície preta não-brilhante ou um furo de uma fornalha, possui característica emitindo radiações de corpo negro, tal como luz e eletromagnéticas. Até mesmo o sol possui radiações de corpo negro.

Através da teoria do corpo negro, foi proposto no final do século XIX a Lei de Rayleigh-Jeans, que expressa a densidade de energia da radiação do corpo negro de comprimento de onda λ como a seguir:

onde λ é medido em metros, T é a temperatura em kelvins e k é a constante de Boltzmann. A Lei de Rayleigh-Jeans coincide com as medidas experimentais para comprimentos de onda longos, mas diverge drasticamente para comprimentos de onda curtos. A divergência de comportamento pode ser observada quando em:

Enquanto o observado experimentalmente:

Essa discrepância é conhecida como a catástrofe do ultravioleta ( frequências de 300nm). Em 1900 Max Planck encontrou um modelo melhor para comprimentos de onda curtos (conhecido agora como Lei de Planck):

onde λ é medido em metros, T é a temperatura em kelvins e

h = constante de Planck = 6,6262 x 10-34 J•s

c = velocidade da luz = 2,997925 x 108 m/s

k = constante de Boltzmann = 1,3807 x 10-23 J/K

Usando a regra de L’Hôspital:

Quando λ tende a números ínfimos, o expoente de e adota valores cada vez maiores:

Utilizando um software gráfico se pode ver o comportamento de y

Quando x → ∞, y → 0, logo, a equação da Lei de Planck tende a 0 para valores de comprimento de onda curtos.

Com esse exemplo pode-se observar que nem sempre é difícil encontrar o comportamento de uma equação chamada de “cabulosa” - sem nem considerar que existem maiores! - quando se possui conceitos simples de cálculo, álgebra e uma pitada de lógica.

(Editado de: Stewart, James – Cálculo Volume 2, 5ªed, P783)
(Ferramenta gráfica: Graphmática)