Derivada de uma Função de Duas Variáveis

Neste tópico discutiremos a derivada para uma função com mais de uma variável (no caso duas variáveis).

Mas..O que seria uma função de duas variáveis?

Uma pequena introdução

Uma função f de duas variáveis x e y é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x,y) de seu domínio D pertence aos R², um único número real denotado por z = f(x,y).

Derivação Parcial

Introdução

A derivada é um operador matemático cuja operação é executada em relação a uma variável independente. Como consequência desse fato, quando trabalhmos com funções com mais de uma variável independente, a opção que se tem é calcular a derivada em relação a uma de suas variáveis, enquanto as outas são mantidas constantes. Tal processo é denominado derivação parcial e a derivada resultante é a derivada parcial da função.

Definição

Seja f(x,y) uma função definida numa vizinhança de (x0,y0). A derivada parcial da função f(x,y) em relação a y em (x0, y0) é a derivada da função de uma variável F(y) = f(x0, y) no ponto y = y0.

Ou seja, para calcular a derivada parcial de f(x,y) em relação a y e em (x0, y0) fixamos x = x0 e derivamos a função de variável y no ponto y0.
Usando o que vimos no Cálculo I, temos que

Interpretação Geométrica

De acordo com a interpretação geométrica da derivada de uma função de uma variável, no caso a função F(y), temos

De modo análogo, definimos a derivada parcial em relação a x.

Na prática, para calcularmos a derivada parcial de uma função de várias variáveis em relação a uma de suas variáveis, consideramos todas as outras variáveis como constantes e derivamos em relação aquela variável.