Derivada de uma função de uma variável

Nem sempre podemos calcular as derivadas diretamente a partir da definiçao, usando o limite da razão incremental pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.

Regras gerais para derivadas de funções

1. Multiplicação por escalar

   (kf) '(x) = k f '(x)

2. Soma de funções

   (f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)

3. Diferença de funções

   (f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)

4. Produto de funções

   (f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)

5. Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então

   

   Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.

Regra da Cadeia

As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)¹⁰⁰ pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.

Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:

h '(x) = f '(g(x)) g '(x)

Uma notação muito utilizada é:

[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)

Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:

D_xy = D_uy D_xu, y_x = y_u u_x,