Quão rápido um tanque esvazia?

Se água (ou outro líquido) está vazando de um tanque, esperamos que o fluxo seja maior no começo, quando o tanque estiver mais cheio, e vai gradualmente diminuindo à medida que o nível de água do tanque diminui. Mas queremos uma descrição matemática mais precisa de como o fluxo cresce a fim de responder às perguntas que os engenheiros fazem: após quanto tempo o tanque estará completamente vazio? Quão cheio deve estar para garantir uma pressão mínima a um sistema sprinkler contra incêndio?

Partindo da lei de que Torricelli determina o quadrado da velocidade como:

v² = vo² + 2a∆S

Se olharmos para uma gota de água na superfície da água e considerarmos que ela está caindo em queda livre até o fundo do tanque, e que há um buraco com área a no fundo do tanque, a taxa de variação pode ser relacionada pelo volume da seguinte maneira:

Em um intervalo ∆t suficientemente pequeno, o volume de água que passa pelo orifício entre os instantes t e t + ∆t é aproximadamente igual ao volume do cilindro de base a e altura v(t)∆t. Portanto, a variação no volume neste intervalo de tempo é dada por ∆V = −v(t) ∆t a:

(Temos que g é o valor da gravidade e h a altura)

Isto é, a Lei de Toricelli nos diz que a taxa de variação do volume é proporcional à velocidade com que a água sai pelo buraco e que a constante de proporcionalidade é igual à área do orifício.

Também podemos expressar o volume como função da profundidade da seguinte maneira: seja A(h) a seção horizontal do tanque na altura h, temos:

e,
portanto,
Sendo outra expressão para a lei de Torricelli.

(Editado de: Stewart, James – Cálculo Volume 2, 5ªed, P605)